다락방

4일차. 행렬과 행렬식 그리고 역행렬 <수리물리학 - 메리 보아스> (3.1-3.6)

열공모드중 — Sun, 8 Dec 2024 18:16:57 +0900

0. 벡터의 성질

1) 벡터는 좌표계 선택과 무관하다. 이건 그냥 벡터를 정의할 때부터 정해진 성질이다.

즉 좌표계를 왼쪽, 오른쪽과 같이 할때 각 좌표계에서 벡터를 표현하는 방법은 달라지지만, 무슨 좌표계에서든 벡터 자체는 변하지 않는다.
따라서 F1과 F2는 동일한 벡터이다.

1. 행렬

1) 행렬은 연립선형방정식을 행줄이기를 이용해 효율적으로 풀기 위해 생겼다.

(1) 행줄이기 과정 : 각 행을 바꾸거나 곱한 후 빼서 행 별로 x, y, z만 남도록 한다.

(2) 원리 : 원래 방정식들 선형변환해가며 푼 것과 마찬가지이다.

2) 행렬의 계수

답을 구할 수 있게끔 하는 "행줄이기"가 끝난 후, 남아있는 0이 아닌 행의 개수를 행렬의 계수라고 한다. <계수 구하는 첫번째 방법>

(1) A'의 계수와 A의 계수는 동일하다.

만약 A크기가 5*3이고 A'크기가 3*5여도 계수는 동일하다.
(즉 변수와 연립방정식의 개수가 동일하지 않더라도 transpose한 행렬들의 계수는 서로 동일하다.)

(2) 방정식들의 계수만 남긴 행렬 M과, 전체 연립방정식의 계수 A 행렬들의 계수에 따라 다음이 성립한다.

① (M계수=A계수)=R이라 할 때, R=n(미지수갯수) : 하나의 해만 존재
② (M계수=A계수)=R이라 할 때, R<n(미지수갯수) : R개의 미지수를 n-R개의 미지수로 표현할 수 있게 된다.

③ M계수<A계수 : 해가 없다. 어떤 경우를 넣어봐도 다 식이 틀리게 나온다. 즉 식의 일관성이 없다.
당연함. 이런 경우는 x+y=1, x+y=2 이 두 개가 연립된 경우임.

2. 행렬식

정방행렬에서만 행렬식을 정의할 수 있다.

1) 계산하기 : Laplace 방법

(1) 2차원 행렬의 행렬식

(2) 3차원 이상 행렬의 행렬식

한 행 or 한 열 선택

2) 행렬식에 대한 유용한 사실들

(1) 한 행 or 한 열에 k 곱하면 행렬식값도 k배. (만약 두 열에 k곱하면 행렬식값은 k²배)

기준 삼을 한 행/열이 다 k배 되는 경우를 생각해보면 고차원으로 확대해도 마찬가지임을 알 수 있다.

(2) 행렬식 값이 0인 경우는 둘 중 하나이다.

① 한 행 or 한 열이 다 0인 경우

기준 삼을 한 행/열이 모두 0인 경우를 생각해보면 쉽다.
② 두 행이 비례하거나 같을 때

(2-1) 예제 : (0,0,0), (1,2,5), (2,-1,0)을 지나는 평면의 방정식을 구하라.

① 평면의 방정식 Ax+By+Cz+D=0이 다음 꼴을 만족하면 된다.

② Mv=0에서 v≠0이라면 det(M)=0이어야 한다.
v를 선형변환시키는 M의 행렬식이 0이어야 0벡터, 즉 점으로 차원축소가 가능하기 때문이다.
* 행렬식의 기하학적 의미
AP=P'와 같이 P를 P'로 선형변환했다고 하자.

(ⅰ) 이때 Area(P') = det(A)*Area(P)가 성립하고, det(A)<0이면 점들의 순서 방향이 반대가 된다.
(ⅱ) 만약 det(A)=0이라면 다음과 같이 차원축소가 일어나 면적이 0이 된다는 뜻이다.

⊕ det(M)=0을 분석해보자.

참고로 행렬식은 항상 정방행렬에 대해서만 구할 수 있다는 것을 주의하자! <행렬식 계산 시 2*2까지 분해하는 것을 보면 알 수 있다>

(ⅰ) 만약 첫번째 행 요소들을 Laplace방법의 기준으로 삼으면, 바로 x,y,z에 대한 선형방정식 즉 평면의 방정식이 나온다. (Ax+By+Cz+D=0꼴)
(ⅱ) (x,y,z)에 (0,0,0), (1,2,5), (2,-1,0) 대입 시 두 행이 같아지므로 바로 행렬식값이 0이 된다.
③ det(M)=0을 풀자.

(3) 두 행이 서로 바뀌면 행렬식의 부호가 바뀐다.

(4) 전치해도 행렬식은 변하지 않는다.

더 큰 행렬을 전치해도,
한 행을 기준으로 잡을 것을 한 열을 기준으로 잡고
전치된 2*2 소행렬들은 행렬식값이 그대로이므로 전체적으로 행렬식이 변하지 않는다고 생각할 수 있다.

(5) 한 행/열에 다른 행/열을 k배 한 후 더해도 행렬식은 변하지 않는다.

3) 행렬식 이용해 행렬의 계수 구하기 <계수 구하는 두번째 방법>

앞서 첫번째 방법에선 행줄이기가 끝난 후 남아있는 0이 아닌 행의 개수를 행렬의 계수(Rank)라 했다.
*계수의 의미 : 선형독립인 벡터의 개수
하지만 행렬식을 이용해서도 행렬의 계수를 구할 수 있다.

n*n 정사각 부속행렬 중 행렬식이 0이 아닌 것들이 있게 될 때까지 부속행렬로 쪼개는데, 이때 가장 큰 n이 계수이다.

*계수 정리 : 행렬에서 열계수와 행계수는 항상 같다. A나 A'나 정사각 부속행렬들의 행렬식 구하는 과정은 동일하므로 같을 수 밖에 없다.

3. 행렬식 이용한 벡터 계산 쉽게 하기

1) 벡터의 연산 기본지식

(1) 내적(스칼라곱)

A·B = |A||B|cosθ

(2) 외적(벡터곱)

① 다음과 같이 행렬식으로 나타내어 계산할 수 있다

② 외적의 결과는 면적*수직단위벡터 가 된다.

B벡터를 A벡터방향과 수직인방향으로 분리

AXB = |A||B|sinθ * N <두 벡터가 이루는 면적> * <벡터 A, B에 모두 수직인 단위벡터>
(ⅰ) AXB = 0이라면, 두 벡터가 평행
(ⅱ) AXA은 항상 0. 같은 벡터끼리 이루는 면적은 0이므로

2) 행렬식 이용한 벡터 연산

(1) 두 벡터에 수직인 벡터, 즉 두 벡터가 이루는 평면의 법선벡터 구하기

3) 외적(행렬식 이용해 계산) 이용한 벡터 연산

(1) 점 P과 직선 사이 거리 구하기

직선 위의 임의의 점을 잡고, 이 임의의 점에서 점P를 향한 벡터를 새로 만든다.
그럼 직선벡터와 이 새로운 벡터를 외적한 결과의 크기에서 직선벡터의 크기를 나눠주면 점과 직선 사이의 거리가 된다.
두 벡터의 외적은 두벡터가이루는면적*두벡터에수직인벡터가 되기때문

(2) 비틀린 두 직선 사이 최소거리 구하기

꼬인 위치의 두 직선을 각각 지나고, 평행하는 두 평면을 그린다.
이 두 평면간의 거리가 두 비틀린 직선 사이의 최소거리임을 알 수 있다.
① 두 평면의 법선벡터는 동일하므로 우선 이것부터 구하기 위해 두 벡터를 외적해 평면의 법선벡터를 구한다.
② 위에서 구한 법선벡터를 가지고, 두 벡터 중 하나를 포함하는 평면을 구한다.
③ 위에서 구한 평면과 나머지 한 벡터 위 임의의 한 점 사이의 거리를 구한다

4. 행렬 법칙 및 용어

참고로 이 란에서 말하는 행렬의 곱셈이란 모두 다음과 같다.

1) 행렬에 사용되는 법칙

(1) det(A*B) = detA * detB = det(B*A)

① A*B ≠ B*A여도 성립한다.
② 행렬 A의 크기가 n*n이라면(행렬식 존재하기 위해선 정방행렬) 행렬 B의 크기도 n*n이어야 한다. (그래야 행렬의 곱셈 가능하므로)

2) 행렬에 사용되는 용어

(1) 교환자 : [ , ]

A와 B의 교환자 = [A, B] = AB-BA

① A, B가 곱셈에 대해 교환된다면 이는 [A, B]=0라는 것이다. 즉 A, B의 교환자가 0이라는 것은 A, B가 곱셈에 대해 교환된다는 것이다.
A, B가 곱셈에 대해 교환된다함은 AB=BA이기 때문이다.
② A, B의 교환자가 0일 경우 (A-B)(A+B)=A²-B²

(2) 영행렬 : 모든 요소가 0인 행렬. 당연히 행렬식도 0

① M = [[2,-4],[1,-2]]
이런 행렬처럼 행렬식은 0이지만 영행렬이 아닌 행렬도 존재한다.

(3) 역행렬

Ax=y ⇒ x=A¯¹y 에서 비롯되었다.
① 역행렬이 존재한다는 것의 의미

(ⅰ) 역행렬이 존재한다는 것은 정방행렬(정사각행렬)이라는 것
A¯¹A=AA¯¹=I이므로
(ⅱ) 역행렬이 존재한다는 것은 행렬식 ≠ 0이라는 것
A¯¹A =I에 위의 행렬식 법칙을 적용하면 det(A¯¹)*det(A)=det(I)=1
이게 성립하기 위해선 detA≠0 이어야 한다.
참고로 detA=k (k≠0)이라면 det(A¯¹)=1/k임을 알 수 있다
☆ detA≠0이고 정방행렬이면 무조건 invertible하다!!!

② 역행렬 구하기

지금까지는 가우스-조던 소거법을 사용해 역행렬을 구해왔지만,
행렬식을 알게 된 지금은 AA¯¹=I && det(A¯¹)=1/det(A)를 만족하는 A¯¹을 구하면 된다.

adj(A) : A의 수반행렬. 여인수들로 채운 행렬을 전치한 것

(예제)

(4) 회전행렬

본래 벡터 앞에 이 회전행렬을 곱하면 α만큼 회전된다.

(5) 행렬함수

우리가 알고 있는 멱급수로 전개할 수 있는 함수에 대해, 급수가 수렴할 경우 행렬에도 적용할 수 있다.

<오리엔트 특급살인 - 아가사 크리스티 (번역: 해문출판사)> 제 3편을 읽으며.. (끝)

열공모드중 — Sun, 24 Nov 2024 19:19:02 +0900

정말 끝의 끝까지도 범인의 정체를 제대로 추리해내지 못했다ㅋㅋ

진짜 리뷰에 적힌 말 대로 엄청난 반전이었고 너무 재밌었다

그리고 왜 사람들이 고전추리소설을 아직도 좋아하고 읽는 지 그 이유를 하나 알게 된 것 같다
요즘 추리물들은 당연히 현대적인 트릭과 기발한 관계성들이 많아졌고
그만큼 보는 재미가 풍성해졌지만
개인적으로 생각했을 때 이 작품이 최신작이었다면 절대 경찰에 첫번째 추리를 말하지는 않았을 듯 싶다
현대였다면 가해자의 사정이 어떻든 죗값을 치러야 했을텐데
굉장히 속이 시원한 결말이었다

<오리엔트 특급살인 - 아가사 크리스티 (번역: 해문출판사)> 제 2편을 읽으며..

열공모드중 — Sat, 23 Nov 2024 20:08:59 +0900

오늘은 2/3분량에 해당하는 2편까지 읽었다

침실칸 모든 사람들의 증언을 들으며 본격적인 사건 탐색이 시작되었다

그리고 끝없는 궁금증과 의심병에 휩싸였다ㅋㅋ

공작부인의 하녀의 짐에서 차장 옷이 나오리란 건 이해했는데 어떻게 포와르는 하필 남자의 가방에 주황색 여성 잠옷이 들어있으리란 걸 예상했을까?

범인이 다른 사람을 의심받게 하고 싶어하지 않는 선량한 성격이라고 예상해서?

차장옷을 입은 키가 작고 검정 머리의 남성(혹은 여성)과 주황색 잠옷을 입은 여성은 동일인물일까?

그렇다면 남자가 낸 듯한 자상은 어떻게 설명될까?

그리고 주황색 잠옷을 입은 인물의 얼굴을 본 이는 아무도 없는데 어떻게 여성임을 확신했을까?

아니 또 왜 굳이 차장옷을 입은 인물은 허바드 부인의 방을 통해 나왔을까? 일단 범죄현장으로부터 빨리 벗어나야한다는 생각때문일까?

완전 모든게 의심되는 상황이다ㅋㅋㅋ

아직 대령의 파이프소제기와 프랑스제 고급 손수건의 주인, 미심쩍은 헝가리 외교관 부부의 행동에 관한 미스터리가 풀리지 않았다

항상 느끼는 거지만 추리소설을 보면서 많은 정보를 줘도 전혀 감을 잡지 못하겠다 휴우

<오리엔트 특급살인 - 아가사 크리스티 (번역: 해문출판사)> 제 1편을 읽으며..

열공모드중 — Fri, 22 Nov 2024 18:26:05 +0900

하루에 한 권을 전부 읽기는 포기했다... 오늘은 1/3분량에 해당하는 제 1편 부분만 읽고 감상을 짧게 써보려 한다.

제 1편에는 본격적으로 사건을 추리하기 전 말그대로 "발단"의 내용만 있다

인물들이 나오고 이제 막 살인사건이 발생하였다

그래서 할 말이 별로 없긴 한데 그냥 주저리주저리 써보면..

일단 부크가 자신이 2등실로 가면서까지 열차칸을 양보해준게 너무 인상깊었다. 친절한 칭구칭긔

근데 반전이 있을 것 같다는 예감에 한편으로 불안하기도 하다

용의선상에서 벗어나려고 일부러 간 거 아니야??? 의심 한스푼..

그리고 피살자 안 그래도 심보 고약하다 싶었는데

무수히 많은 가족을 파탄으로 내몬 쓰레기였다

아니 근데 사건 의뢰할 생각이었으면서 왜 침실칸을 못 타게 하려 했을까?

그냥 아무 생각 없던건가.. 돈이면 다 될 거라고 생각한 건가..

하긴 똑똑하면 범죄도 안 저지르겠지

이제 남은 (가짜?)증거들 H가 써진 손수건과 파이프소제기, 새벽 1시 15분을 가리키는 깨진 금시계가 무슨 역할을 하게 될 지 너무 궁금해진다

그리고 소제기가 뭔가 했는데 파이프를 청소하는 데에 쓰는 작은 솔 인듯 싶다

또한 12시 37분에 들은 비명과 레체트의 목소리, 서로 다른 2종류의 자상이 나타내는 것들은 무엇일까

번외로 중간에 타다남은 종이에 열을 가해서 글씨를 봤다는 게

도대체 뭔말인지 아무리 읽어도 이해가 안됐는데 (무슨 식초로 글씨 쓴 종이도 아니고)

원문을 보니 the charred scrap of paper라고 되어있었다

그니까 대충 글씨가 적힌 새까맣게 탄 종이에 다시 불을 붙이면

글씨부분만 불이 붙어 글자가 보이는 원리인 것 같다

번역실수인가 했는데 어찌보면 새까맣게 탄 종이도 타다남은 종이는 맞으니까 뭐...

일단 지금까진 흥미진진했다

그래서 이번 책을 다 읽고 아가사 크리스티 추천편 10권까지 다 읽어 볼 생각이다ㅋㅋ

20241121 독서 시작!

열공모드중 — Thu, 21 Nov 2024 17:09:00 +0900

오블완 챌린지에 도대체 무슨 주제로 참여할 지 계속 고민했다

공부하러 도서관 가서도 이 고민은 마찬가지였는데ㅋㅋㅋ

의자에 앉자마자 독서일지를 써야겠다고 마음먹었다

카테고리명은 거창하게도 독후감이지만

독후감이라기보다는 필사노트 비슷한 게 되지 않을까 싶다

근데 3년 전 <<지구 끝의 온실>>을 마지막으로 지금까지 단 한권도 읽지 않은 책 무식자인 나는

도대체 무슨 책을 읽어야 할 지 또다시 고민에 빠졌다

아무래도 진지한 분위기의 소설은 집중하기 힘든 느낌이라 추리소설부터 읽으려 했다

그래서 고른 것이 인터파크 평점 9.9점에 빛나는 아가사 크리스티의 <<오리엔트 특급 살인>>이다

사실 역대 가장 완벽한 트릭이라는 리뷰에 바로 혹해서 고른 것이라

빨리 읽고 싶어 설렌다

3일차. 복소수 기초, 복소수 무한급수 <수리물리학 - 메리 보아스> (2.1-2.17)

열공모드중 — Sat, 5 Oct 2024 17:03:54 +0900

미리보는 정리

1. 복소수 기초

1) 모든 복소수 z는 실수와 허수부분을 갖고 있고, 이는 두 개의 실수로 생각할 수 있다.

2) 복소수는 두 개의 실수를 가지므로, 복소수 평면(Real축, Img축)에 나타낼 수 있다.

z = x + jy = r(cosθ + jsinθ) => 오일러 공식 적용 시 reʲᶿ

두 개의 멱급수가 동일하므로 이렇게 나타낼 수 있다. (eˣ에 x=jθ 대입해 멱급수 구하기)

오일러 공식 적용한 꼴 사용 시 계산 수월해진다.

3) 복소수 연산

(1) 켤레복소수는 그냥 모든 j에 -붙이면 된다

(2) 복소수 z가 분수꼴일 때 크기 |z|는 분모, 분자 따로 구한 것과 동일

(3) 복소수는 달리 보면 실수 변수가 2개 들어있는 방정식

2. 복소수 무한급수 수렴검사

비율검사 → ρ=1이면 실수부 허수부 둘다 따로 검사해서 둘다 수렴해야 수렴 (zⁿ꼴은 ρ=1이면 발산)

3. 복소수 멱급수 (수렴원판) : 실수 멱급수와 그냥 존똑

1) 비율검사(ρ<1)를 통해 수렴원판 구하기

2) 멱급수의 정리 그대로 적용

(1) eˣ의 멱급수에 jθ대입해 cosθ+jsinθ와 동일한 멱급수 얻음

(2) 멱급수 정리 중 나눗셈 부분 보완 : 분모=0인 부분 주의할 것, 수렴원판 구하는 방법

(수렴원판 구하는 방법의 증명은 나중에 14.2장 가야 가능)

4. 오일러공식을 활용한 관계식들

*14장에 가서 배울 것들
1. 수렴구간이 아니지도, 발산하지도 않은데 멱급수 전개가 불가능한 함수 판별법 (2일차)
2. 급수의 나눗셈에서 수렴원판을 구하는 방법의 증명 (3일차)
3. eᶻ를 z에 대해 미분한다는 것의 의미

1. 복소수 기초

1) 모든 복소수 z는 실수 부분과 허수 부분으로 이루어져 있고, 이건 곧 두 개의 실수이다.

2) 복소수는 두 개의 실수로 이루어져 있으므로 복소수 평면(x축은 실수, y축은 허수)에 나타낼 수 있다.

이때 평면이 어떤 좌표계를 가지느냐에 따라 두 가지 방법으로 표현이 가능하다.

첫번째 그림은 직교좌표계를 사용하여, 복소수를 다음과 같이 표현 z = x + jy

두번째 그림은 극좌표계를 사용하여, 복소수를 다음과 같이 표현 z = r(cosθ + jsinθ)

이때 이 식은 오일러공식에 의해 다음 식으로도 표현할 수 있다. <오일러공식 증명>

→ 이 식 사용 시, z의 켤레복소수 z*를 표현하기 훨씬 간편해진다. (세번째 그림)

3) 복소수의 연산

(1) 극좌표, 특히 오일러공식을 사용한 꼴로 바꾸면 계산 수월해지는 경우가 많다

(2) 켤레복소수는 그냥 모든 j에 -붙이기만 하면 된다. (숨겨진 허수 없는지 주의!)

(3) 복소수 z의 크기 |z|= √(x²+y²)=r이고, 분수 꼴일 때는 분모, 분자 따로 구한 것과 같다.

(4) 복소수는 달리보면 실수 변수가 2개 들어있는 두 개의 방정식과 같다.

따라서 물리학 문제에서도 두 개의 실수 방정식 대신 하나의 복소수 방정식으로 간단히 푸는 경우가 많다.

2. 복소수 무한급수 수렴검사

1) ∑(a+jb)가 수렴한다는 건 ∑√(x²+y²)가 수렴한다는 것과 마찬가지. 그냥 우선 절대수렴검사를 해본다.

실수로 이루어진 무한급수와 마찬가지로, 우선 비율검사를 통해 절대수렴검사를 해보면 된다.

2) ∑(a+jb)가 수렴한다는 건 ∑a, ∑b가 둘 다 수렴한다는 것과 마찬가지.

극한 S=X+jY에 수렴한다면, 부분합 aₙ→X, bₙ→Y라는 뜻이다.

비율검사 결과가 ρ=1이라서 다른 검사를 해봐야 할 경우, 이처럼 실수부분과 허수부분을 따로 검사

실수부와 허수부 둘 다 수렴한다면, 복소수 무한급수도 수렴한다고 한다.

하나라도 발산하면, 복소수 무한급수는 발산한다.

3) 알아두면 좋은 내용 : ∑zⁿ꼴일 때

앞선 내용에서 비율검사 결과가 1일때는 실수부, 허수부 따로 검사를 다시 한번 진행해야 한다고 했는데,

이 꼴일땐 그러지 않아도 된다.

∑zⁿ은 비율이 z=re^(jθ)인 기하급수이므로, |z| = r < 1일때만 수렴한다.

즉, 비율검사 결과가 1이 나오면 바로 발산임을 알 수 있다.

3. 복소수 멱급수 (수렴원판)

이젠 변수 x에 대한 함수가 아닌, 변수 z(x와 y포함)에 대한 함수로 수렴하는 멱급수를 구해야 한다.

사실 수렴원판을 제외하면 그냥 x만 z로 바꾼 꼴이다

1) 수렴구간은 실수멱급수와 동일하게 비율검사로 구한다. 단, 이때 수렴구간이 아닌 수렴원판으로 나타난다.

ρ=1인 부분에 대해서는 물어보지도 않고, 중요하지도 않음!

2) 실수 멱급수의 정리 4개가 그대로 적용된다. (그냥 진짜 1장의 실수 멱급수에 허수부만 들어간 꼴)

그리고 급수의 나눗셈에 관해 수렴원판을 구할 수 있게 된다.

복소수 평면에서 분모가 0인 점(이때 x=a에서 0이 되는 분모가 분자와 상쇄된 경우는 이것까지 분자취급) 중 원점에 가장 가까운 점과 원점 사이의 거리를 s라고 한다.

분모와 분자의 수렴반지름을 각각 r1, r2라고 할 때, 적어도 r1, r2, s 중 제일 작은 것이 수렴반지름이고, 원점이 중심인 수렴원판에서 수렴한다.

(1) 오일러 공식 증명 (대입 예시)

오일러공식

이게 왜 이렇게 되는지도 간단하게 증명가능한데, 그냥 eˣ의 멱급수에서 x에 jθ만 대입하면 된다.

(2) 지수함수와 삼각합수의 곱의 멱급수 간단히 구하기 (대입 예시)

(3) 급수 나눌때 수렴원판 구하기 (나눗셈 예시)

4. 오일러 공식을 활용한 관계식들

1) DeMoivre의 정리

2) 삼각함수와 지수함수

이 공식들은 적분 계산 시 유용하다. 지수함수 곱이 삼각함수끼리 곱의 합보다 적분하기 쉽기 때문이다.

그리고 복소수 멱급수 전개 시, 실수 멱급수에 그냥 그대로 복소수를 대입해도 성립했던 것을 떠올리면 실수 θ 대신 복소수 z를 대입한 다음 식도 당연히 성립한다.

3) 쌍곡함수 sinh, cosh

(1) 하이퍼볼릭 사인, 코사인은 다음과 같은 식이다.

(2) 사인, 코사인함수에 순허수 z, 즉 jy을 대입하면 다음과 같다.

따라서 최종적으로 다음 관계가 성립한다.

4) 로그함수

지금까지 음수에는 로그를 취할 수 없다고 배워왔지만, 다음과 같이 복소수를 이용하면 가능하다!

두번째 예시를 보면 알 수 있듯 양의 실수도 무한히 많은 로그값을 가진다.

다만 θ=0일 때의 주값 Ln2만이 실수이다.

5) 복소수 멱수

주의할 점!

5. 추가문제

2.17.28

2.17.32

2일차. 멱급수 <수리물리학 - 메리 보아스> (1.10-1.14)

열공모드중 — Fri, 27 Sep 2024 10:40:58 +0900

미리보는 정리

1. 멱급수란?

Σaₙ(x-b)ⁿ꼴. x값에 따라 항들이 달라지므로 수렴여부도 달라짐.
2. 멱급수가 수렴하는 x구간 구하기

비율검사(ρ<1인 구간 구하고 ρ=1인 지점은 따로 검사)

3. 함수의 멱급수 전개 : 함수로 수렴하는 멱급수 구하기
1) 함수의 멱급수 전개 공식 : f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)/2!+...
멱급수가 무한 급수가 아니고 초기 몇 항만 존재 시엔 x=a에서만 함수로 수렴
2) 멱급수 전개 공식의 활용
멱급수의 정리 1 : 함수의 멱급수는 유일 (기본함수를 활용해 구한 멱급수도 전개공식으로 구한 멱급수와 일치)
멱급수의 정리 2 : 멱급수들을 더하고, 빼거나 곱해 얻은 급수는 적어도 공통 수렴구간 내에서는 수렴

& 멱급수끼리 나눌 때는 분모에 있는 급수는 x=0에서 0이 아니어야 한다(맥클러린급수)

분자에 있는 0과 상쇄될 수 있는 경우 이 상쇄되는 부분 전체를 분자로 생각해야 한다
멱급수의 정리 3 : 급수에 수렴구간 안의 함수나 급수를 대입할 수 있다
멱급수의 정리 4 : 급수를 미분/적분해도 구할 수 있고, 원래 급수와 같은 수렴구간을 가진다.
3) 모든 함수는 멱급수로 전개 가능한가?
멱급수에 수렴구간에 해당하지 않는 부분은 전개 불가
x=a에서 발산하는 함수는 전개 불가 (f(a)=a0임은 명백하므로)
아예 멱급수 전개 불가한 함수 존재 (14.2 복소함수론에서 판단방법 배움)
4) 멱급수의 꼴에 대해 계수만 끼워맞춘건데 실제로 주어진 함수에 수렴한다
몇번째 항까지 전개해야 오차가 어느정도 이하가 될지도 구할 수 있다.

1일차에서 본 급수들은 모두 항들이 상수인 급수였다.

이제 앞으로 볼 급수들은 항들이 함수인 급수이다.

1. 멱급수란?

1) 멱급수의 정의

멱급수란 위의 급수와 같이, 다항식들이 거듭제곱으로 나타난 꼴을 말한다.

지수는 항상 0, 1, 2, 3, 4, ... 계속 고정이고 밑의 다항식들만 변하기 때문에 멱급수라고 말한다.

+) 처음에 헷갈렸던 것 : x 차수가 x,x³,x⁶ 막 이런 식으로 나타나도 멱급수인가? : ㅇㅇ. 그냥 중간중간 aₙ이 0일뿐

2) 멱급수의 성질

멱급수의 각 항은 함수이므로 당연히 x의 값에 따라 항들의 값이 달라진다.

즉, 수렴여부도 x값에 따라 달라진다.

2. 멱급수의 수렴여부 판단 (=수렴하는 x구간 구하기)

1) 멱급수의 수렴여부 판단에 주로 사용하는 검사방법

<1일차때 배운 급수의 수렴여부 판단 과정을 그대로 따라가보자.>

멱급수는 aₙ 또한 n값에 따라 변하므로 일단 기하급수가 아니다.

심하게 발산하는지 여부는 멱급수에 따라 다르겠지만, 우선 우리가 풀 문제에서 그런 문제는 없을 것이다.

그 다음으론 절대수렴 여부를 따져봐야 하는데, 멱급수는 보통 1일차에서 말한 여러 방법들중에서 비율검사를 사용한다.

(거듭제곱꼴이므로 사용하기 간편. 그리고 예제를 보면 알겠지만, 수렴하는 x의 구간을 한번에 구하기도 간편하다)

2) 멱급수의 수렴여부 판단 예제

(1) 다음 급수가 수렴하는 x의 구간을 구하라.

(풀이)

이때 비교검사에서 항상 유의해야 할 것이, ρ=1인 부분은 따로 추가적인 검사를 해야 한다.

결론적으로 -3 ≤ x < -1에서 주어진 급수가 수렴한다.

3. 함수의 멱급수 전개

우선 가장 먼저 주어진 함수에 대해서, 이 함수로 수렴하는 급수가 존재한다고 가정한다.

1) 함수의 멱급수 전개 공식

주어진 함수 f(x)로 수렴하는 멱급수를 구하는 것을 "함수의 멱급수 전개"라고 한다.

(1) 멱급수 전개 공식은 다음과 같다. (함수로 수렴하는 멱급수가 존재한다고 가정했으므로 그에 해당하는 계수만 구하면 된다.)

? 어떻게 미분해서 계수를 구할 수 있을까 ? -증명

(2) 이때 각 항이 추가될 수록 점점 함수에 대한 수렴도가 높아질 것이다.

만약 f(a)+f'(a)(x-a)같이 멱급수 중 일부 항만으로 이루어진 급수는 x=a근처에서만 수렴도가 높다.

a=0으로 설정해서 x=0근처에서 수렴하는 급수는 맥클러린 급수라고 하고, x!=0( ∵ a!=0) 근처에서 수렴하도록 만든 급수는 테일러급수라고 한다.

2) 함수의 멱급수 전개

하지만 멱급수 전개 공식처럼 매번 미분하는 것이 너무 복잡한 함수들이 많다.

따라서 일단 멱급수 전개 공식을 이용해 기본적인 함수의 멱급수를 구하고, 이를 이리저리 조합해서 멱급수를 구한다.

이때 중요하고도 신기한 점은 함수의 멱급수는 유일하다는 점이다. [멱급수의 정리1]

그러니까 이제 나오는 것처럼 기본 멱급수를 사칙연산하든 적분/미분하든 대입하든 구한 멱급수는 해당 함수를 멱급수 전개 공식을 적용해 일일히 구한 멱급수와 동일하다.

(0) 기본적인 함수의 멱급수

(1) 기본적인 함수의 멱급수 이용해서 멱급수 구하기

① 급수 사칙연산 : 두 개의 멱급수는 더하고, 빼거나 곱할 수 있다. 이렇게 해 얻은 급수는 적어도 공통 수렴구간 내에서는 수렴한다. [멱급수의 정리2]

급수를 급수로 나눌 수도 있는데, 이때 분모에 있는 급수는 x=0에서 0이 아니어야 한다.<맥클러린급수 기준> 그렇지만 만약 x=0에서 분자에 있는 0과 상쇄될 수 있는 경우 이 상쇄되는 부분 전체를 분자로 생각해야 한다. <https://godlifes.tistory.com/74#division>

또한 나눈 경우 따로 비율검사나 복소함수이론(수렴원판 구하기)을 사용해 수렴구간을 구해야 한다.

<https://godlifes.tistory.com/74#division>

ⅰ. 곱하기 예시

참고로 위처럼 지수함수와 삼각함수의 곱은 멱급수의 곱 말고도 복소수를 이용해 간단히 구할 수 있다.

<https://godlifes.tistory.com/74#ExpoTri>

ⅱ. 나누기 예시

② 급수에 대입 : 한 급수를 다른 급수로 바꾸어 넣을 수 있는데 이때 바뀌는 급수 값들은 다른 급수의 수렴구간 안에 있어야 한다. [멱급수의 정리3]

ⅰ. 대입 예시

ⅱ. 대입 예시 (맥클러린 급수 활용해 테일러 급수 구하기)

멱급수가 무한급수가 아닌 처음 몇 항만 존재할 땐 x=1근처에서만 이 멱급수가 주어진 함수로 수렴한다.

무한급수되면 수렴구간 전체에서 주어진 함수로 수렴한다.

③ 급수 적분/미분 : 멱급수의 각 항들을 미분하거나 적분한 결과로 얻은 급수는 원래의 급수와 같은 수렴구간 내에서 원래의 급수가 나타내는 함수의 미분이나 적분된 형태에 수렴한다.(단 구간의 양 끝점에서는 성립하지 않을 수도 있다) [멱급수의 정리4]

3) 모든 함수는 멱급수로 전개 가능한가?

(1) 우선 수렴구간을 구했을 때, 이 수렴구간에 해당하지 않는 부분은 멱급수로 전개가 불가능한 부분이다.

(어떤 방식으로 구하든 함수의 멱급수는 동일하므로, 한번 수렴구간을 구했다면 이 구간이 멱급수로 전개가 가능한 유일한 구간이다.)

(2) 멱급수는 x=0에서 a₀의 값을 가지는 것이 확실하다.(맥클러린급수 기준) 따라서 원점에서 발산하는 1/x나 lnx같은 함수는 멱급수 전개가 불가능하다.

테일러급수도 마찬가지로 x=a 근처에서 발산하는 함수는 멱급수로 전개가 불가능하다.

(3) 위 두 케이스에 해당하지 않는데도 멱급수로 전개하지 못하는 경우가 존재한다.

이 식은 계속해서 미분한 후 x=0을 대입한 값들이 모두 0이 나온다.

즉 멱급수 전개 공식에 대입해보면 0+0+0+0+...꼴이 나오는 것이다.

하지만 모든 x에서 위 식은 분명히 0이 아니므로 위 멱급수는 틀린 멱급수이다.

이런식으로 아예 멱급수 전개를 하지 못하는 함수가 존재한다. <이런 함수는 나중에 14.2장에 가야 복소함수론을 이용해 한번에 분간이 가능하다.>

4) 공식으로 멱급수가 실제로 주어진 함수에 수렴하는가?

그냥 멱급수의 꼴에 대해 계수만 끼워맞춘건데 실제로 주어진 함수에 수렴할 수 있을까?

ㅇㅇ. 그렇다고 한다.

몇번째 항까지 전개해야 오차가 어느정도 이하가 될지도 구할 수 있다.

(하지만 귀찮으니 패스)

1일차. 지식노동자가 되기 위해선 습관이 되도록 반복이 중요! <자기경영노트(2019 - 피터 드러커(1909~2005)>

열공모드중 — Sun, 15 Sep 2024 16:18:15 +0900

육체노동자는 올바른 목표를 찾아 달성할 필요 없이, 주어진 일만을 올바르게 할 수 있으면 됐다.

하지만 지식노동자는 스스로 목표 달성을 위한 방향을 정해야 한다.

성과를 올리는 모든 사람들은 목표를 달성하기 위한 실행 능력을 갖추고 있다.
목표 달성 능력은 습관화된 능력들의 집합이다. 그러나 실행 능력을 충실히 유지하는 것은 무척 어렵다.

구구단을 익힐 때처럼 실행 능력을 몸에 익혀야 한다. ‘6×6 = 36’이라는 답이 무의식적이고 조건반사적으로 나올 때까지 지겹도록 반복해야 한다.

1일차. 급수, 수렴과 절대수렴 <수리물리학 - 메리 보아스> (1.1-1.9)

열공모드중 — Sun, 8 Sep 2024 18:23:44 +0900

1. 수열과 급수

수열은 말 그대로 수의 나열. 하지만 앞으로 말할 모든 수열은 무한수열이다.

급수는 수열의 모든 항을 더한 값이다.

2. 기하수열과 기하급수

1) 기하수열 = 등비수열 (ex) a, ar, ar², ar³, ...

2) 기하급수 = 등비급수 = '기하수열'의 모든 합 = '기하급수'의 합 : 급수 자체가 모든 합이라는 뜻인데, 가끔 등비급수의 합 이런식으로 표현하기도 한다.

3) n항까지의 합이 위 식과 같으므로 n→∞ 보내면 기하급수는 다음과 같다.

단 이때 r의 절대값이 1보다 작을때만 합이 존재가능하고, 이를 수렴한다고 한다.

(ex) 0.8181... = 81/100 + 81/10000 + ... = (81/100) / (1-1/100) = 81/99

이때 중요한 것은, 기하급수의 경우 위처럼 간단하게 계산가능하지만,

기하급수가 아닌 무한급수의 경우 계산하기 위해 우선 수렴여부를 알아야 하고, 올바르게 계산하는 방법을 알아야 한다는 것이다.

3. 수렴 여부 알아보기

0) 수렴의 정의 :

n번째 항까지의 합이 Sn, 모든 합이 S

이것이 성립할 때 수렴한다고 한다. 만약 이것이 성립되지 않는다면 발산하는 것이다.

하지만 일반적으로 Sn을 간단히 나타내기도 어렵고, 그걸 극한으로 보내기도 어렵기 때문에 다음 과정을 통해 수렴 여부를 알아본다.

1) 예비검사 : 심하게 발산하는 급수 골라내기

심하게 발산하는 급수로 여러 계산을 하는 것은 어리석다.

실제로 다음 예시를 보면 수렴하는 기하급수는 정상적으로 계산되는 반면, 심하게 발산하는 급수는 전체 합이 -1이라는 어처구니 없는 결과가 나온다.

따라서 우선 먼저 심하게 발산하는 급수를 골라낸다.

위처럼 각 항의 극한이 0이 아니면 이를 심하게 발산하는 급수라고 한다.

2) 절대수렴검사 : 절댓값을 씌워 모든 항을 양수로 만들었을 때 수렴하는 지 검사하기

(0) 급수에 대한 유용한 사실

① 급수의 수렴, 발산 여부는 각 항에 상수를 곱해도 불변 (당연히 0은 제외)

② 유한한 수의 항들을 바꿔도 수렴여부는 동일 (중간에 갑자기 5개 항의 숫자를 바꿔도 전체 수렴여부엔 당연히 영향 없다)

③ 두 수렴 급수 각 항을 더하거나 빼도 급수는 수렴한다.

(1) 왜 절대수렴하는 지 검사할까?

절대수렴하는 급수는 항상 수렴하기 때문이다.

위의 급수에 대한 유용한 사실의 3번째 항을 이용하여 이를 증명할 수 있다.

(2) 모든 항이 양수인 aₙ 급수의수렴 검사 방법들 (아래 4가지 중에서 상황에 따라 선택한다)

-음수가 섞여있는 급수에도 절댓값을 씌워 다 양수로 만들고, 아래 4가지 검사 방법 사용. 그것이 수렴한다면 원래 급수가 절대수렴한다는 뜻-

① 비교검사

m1+m2+m3+...인 급수가 수렴할 때, a1+a2+a3+... 급수의 모든 항이 |aₙ|≤|mₙ|이면 이것도 수렴한다.

m1+m2+m3+...인 급수가 발산할 때, a1+a2+a3+... 급수의 모든 항이 |aₙ|≥|mₙ|이면 이것도 발산한다.

-문제는 급수에 대한 많은 경험이 없으면 만족스러운 비교할 m급수를 찾기 어렵다는 것이다.

② 적분검사 (무한한 개수의 항에 대해 aₙ₊₁ ≤ aₙ 일때만 사용 가능하다. 즉 갈수록 항의 값이 작아질때만 사용 가능)

적분값이 애초에 급수랑 같은 합을 나타내기 때문에 성립한다.

이때 주의할 점이 적분검사방법에선 하한을 n=0으로 하면 안되고 무조건 1이상으로 잡아야 한다.

-문제는 일단 항의 값이 갈수록 작아질때만 사용가능하다는 것이고, aₙdn이 적분가능해야 사용가능하다는 것이다.

③ 비율검사

|aₙ₊₁/aₙ| = ρₙ 을 구했을 때, 그 극한값을 ρ라고 하자.

기하급수의 공비처럼 ρ < 1이면 급수가 수렴하고 ρ > 1이면 발산한다.

-문제는 ρₙ의 극한을 구하기 어려울 수도 있고, ρ = 1일때는 수렴인지 발산인지 알 수 없다는 것이다. 이땐 다른 검사를 하든지 해서 추가적으로 검토를 해야한다.

④ 특별비교검사 (비교검사를 비율로 바꾼 느낌)

수렴할 것 같으면 수렴급수 ∑bₙ를 설정하고, 만약 aₙ/bₙ의 극한값이 유한하면 ∑aₙ 또한 수렴한다.

발산할 것 같으면 발산급수 ∑bₙ를 설정하고, 만약 aₙ/bₙ의 극한값이 0이 아니면 ∑aₙ 또한 발산한다.

3) 제한적으로 수렴하는 급수 (절대수렴하지 않지만, 수렴하는 급수)

1 - ½ + ⅓ - ¼ + ⅕ - ... 은 수렴하지만, 1 + ½ + ⅓ + ¼ + ⅕ + ...는 적분검사방법을 이용해보면 무한대가 나와 발산함을 알 수 있다.

이처럼 제한적으로 수렴하는 급수의 특징은 다음과 같다.

(1) 제한적으로 수렴하는 급수의 특징

① 양의 항, 음의 항들만 모으면 발산급수가 되는 경우가 있다.

② 항들 재배열 시 급수의 합이 달라질 수도 있다. (ex) 1 - ½ + ⅓ - ¼ + ⅕ - ...에서 그냥 마음대로 1.5를 합으로 설정하고 싶다고 하면, 1.5보다 살짝 커질때까지 양의 항들을 더하고, 살짝 커지면 또 1.5보다 살짝 작아질때까지 음의 항들을 더하면 된다. 이런 식으로 하면 진짜 마음대로 급수의 합을 설정할 수 있다.

반면, 절대수렴급수의 경우 항들을 재배열해도 수렴여부에 변화가 없고 (아까 절대수렴급수의 수렴을 증명할 때 양의 항들과 0만으로 이루어진 급수도 수렴함이 이 이유에서이다), 급수의 합에도 변화가 없다.

그런데 어떻게 1 - ½ + ⅓ - ¼ + ⅕ - ... 가 수렴함을 알았을까?

(2) 교대급수의 수렴

1 - ½ + ⅓ - ¼ + ⅕ - ...처럼 항들의 부호가 번갈아 플러스, 마이너스가 되는 급수를 교대급수라고 한다.

만약 교대급수의 각 항들의 절대값이 계속 0에 접근하면,

즉 |aₙ₊₁| ≤ |aₙ|이고 (여기까진 절대수렴검사 중 적분검사의 조건과 동일하다), lim n→∞ aₙ = 0이면 교대급수는 수렴한다.