4일차. 행렬과 행렬식 그리고 역행렬 <수리물리학 - 메리 보아스> (3.1-3.6)

0. 벡터의 성질

1) 벡터는 좌표계 선택과 무관하다.  이건 그냥 벡터를 정의할 때부터 정해진 성질이다.

즉 좌표계를 왼쪽, 오른쪽과 같이 할때 각 좌표계에서 벡터를 표현하는 방법은 달라지지만, 무슨 좌표계에서든 벡터 자체는 변하지 않는다.
따라서 F1과 F2는 동일한 벡터이다.

---

1. 행렬

1) 행렬은 연립선형방정식을 행줄이기를 이용해 효율적으로 풀기 위해 생겼다.

(1) 행줄이기 과정 : 각 행을 바꾸거나 곱한 후 빼서 행 별로 x, y, z만 남도록 한다.

(2) 원리 : 원래 방정식들 선형변환해가며 푼 것과 마찬가지이다.

2) 행렬의 계수

답을 구할 수 있게끔 하는 "행줄이기"가 끝난 후, 남아있는 0이 아닌 행의 개수를 행렬의 계수라고 한다. <계수 구하는 첫번째 방법>

(1) A'의 계수와 A의 계수는 동일하다.

만약 A크기가 5*3이고 A'크기가 3*5여도 계수는 동일하다. 
(즉 변수와 연립방정식의 개수가 동일하지 않더라도 transpose한 행렬들의 계수는 서로 동일하다.)

(2) 방정식들의 계수만 남긴 행렬 M과, 전체 연립방정식의 계수 A 행렬들의 계수에 따라 다음이 성립한다.

① (M계수=A계수)=R이라 할 때, R=n(미지수갯수) : 하나의 해만 존재
② (M계수=A계수)=R이라 할 때, R<n(미지수갯수) : R개의 미지수를 n-R개의 미지수로 표현할 수 있게 된다.

③ M계수<A계수 : 해가 없다. 어떤 경우를 넣어봐도 다 식이 틀리게 나온다. 즉 식의 일관성이 없다.
당연함. 이런 경우는 x+y=1, x+y=2 이 두 개가 연립된 경우임.

---

2. 행렬식

정방행렬에서만 행렬식을 정의할 수 있다.

1) 계산하기 : Laplace 방법

(1) 2차원 행렬의 행렬식

(2) 3차원 이상 행렬의 행렬식

한 행 or 한 열 선택

2) 행렬식에 대한 유용한 사실들

(1) 한 행 or 한 열에 k 곱하면 행렬식값도 k배. (만약 두 열에 k곱하면 행렬식값은 k²배)

기준 삼을 한 행/열이 다 k배 되는 경우를 생각해보면 고차원으로 확대해도 마찬가지임을 알 수 있다.
 

(2) 행렬식 값이 0인 경우는 둘 중 하나이다.

① 한 행 or 한 열이 다 0인 경우

기준 삼을 한 행/열이 모두 0인 경우를 생각해보면 쉽다.
② 두 행이 비례하거나 같을 때

(2-1) 예제 : (0,0,0), (1,2,5), (2,-1,0)을 지나는 평면의 방정식을 구하라.

① 평면의 방정식 Ax+By+Cz+D=0이 다음 꼴을 만족하면 된다.

② Mv=0에서 v≠0이라면 det(M)=0이어야 한다.
v를 선형변환시키는 M의 행렬식이 0이어야 0벡터, 즉 점으로 차원축소가 가능하기 때문이다.
* 행렬식의 기하학적 의미
AP=P'와 같이 P를 P'로 선형변환했다고 하자.

(ⅰ) 이때 Area(P') = det(A)*Area(P)가 성립하고, det(A)<0이면 점들의 순서 방향이 반대가 된다.
(ⅱ) 만약 det(A)=0이라면 다음과 같이 차원축소가 일어나 면적이 0이 된다는 뜻이다.

⊕ det(M)=0을 분석해보자.

참고로 행렬식은 항상 정방행렬에 대해서만 구할 수 있다는 것을 주의하자! <행렬식 계산 시 2*2까지 분해하는 것을 보면 알 수 있다>

(ⅰ) 만약 첫번째 행 요소들을 Laplace방법의 기준으로 삼으면, 바로 x,y,z에 대한 선형방정식 즉 평면의 방정식이 나온다. (Ax+By+Cz+D=0꼴)
(ⅱ) (x,y,z)에 (0,0,0), (1,2,5), (2,-1,0) 대입 시 두 행이 같아지므로 바로 행렬식값이 0이 된다.
③ det(M)=0을 풀자.

 
(3) 두 행이 서로 바뀌면 행렬식의 부호가 바뀐다.

 
(4) 전치해도 행렬식은 변하지 않는다.

더 큰 행렬을 전치해도,
한 행을 기준으로 잡을 것을 한 열을 기준으로 잡고
전치된 2*2 소행렬들은 행렬식값이 그대로이므로 전체적으로 행렬식이 변하지 않는다고 생각할 수 있다.
 

(5) 한 행/열에 다른 행/열을 k배 한 후 더해도 행렬식은 변하지 않는다.

 

3) 행렬식 이용해 행렬의 계수 구하기 <계수 구하는 두번째 방법>

앞서 첫번째 방법에선 행줄이기가 끝난 후 남아있는 0이 아닌 행의 개수를 행렬의 계수(Rank)라 했다.
*계수의 의미 : 선형독립인 벡터의 개수
하지만 행렬식을 이용해서도 행렬의 계수를 구할 수 있다.

n*n 정사각 부속행렬 중 행렬식이 0이 아닌 것들이 있게 될 때까지 부속행렬로 쪼개는데, 이때 가장 큰 n이 계수이다.

*계수 정리 : 행렬에서 열계수와 행계수는 항상 같다. A나 A'나 정사각 부속행렬들의 행렬식 구하는 과정은 동일하므로 같을 수 밖에 없다.
 

---

3. 행렬식 이용한 벡터 계산 쉽게 하기

1) 벡터의 연산 기본지식

(1) 내적(스칼라곱)

A·B = |A||B|cosθ

(2) 외적(벡터곱)

① 다음과 같이 행렬식으로 나타내어 계산할 수 있다

② 외적의 결과는 면적*수직단위벡터 가 된다.

B벡터를 A벡터방향과 수직인방향으로 분리

AXB = |A||B|sinθ  * N <두 벡터가 이루는 면적>  * <벡터 A, B에 모두 수직인 단위벡터>
 (ⅰ) AXB = 0이라면, 두 벡터가 평행
 (ⅱ)  AXA은 항상 0. 같은 벡터끼리 이루는 면적은 0이므로
 

2) 행렬식 이용한 벡터 연산

(1) 두 벡터에 수직인 벡터, 즉 두 벡터가 이루는 평면의 법선벡터 구하기

 

3) 외적(행렬식 이용해 계산) 이용한 벡터 연산

(1) 점 P과 직선 사이 거리 구하기

 직선 위의 임의의 점을 잡고, 이 임의의 점에서 점P를 향한 벡터를 새로 만든다.
그럼 직선벡터와 이 새로운 벡터를 외적한 결과의 크기에서 직선벡터의 크기를 나눠주면 점과 직선 사이의 거리가 된다.
두 벡터의 외적은 두벡터가이루는면적*두벡터에수직인벡터가 되기때문

 

(2) 비틀린 두 직선 사이 최소거리 구하기

 꼬인 위치의 두 직선을 각각 지나고, 평행하는 두 평면을 그린다.
이 두 평면간의 거리가 두 비틀린 직선 사이의 최소거리임을 알 수 있다.
① 두 평면의 법선벡터는 동일하므로 우선 이것부터 구하기 위해 두 벡터를 외적해 평면의 법선벡터를 구한다.
② 위에서 구한 법선벡터를 가지고, 두 벡터 중 하나를 포함하는 평면을 구한다.
③ 위에서 구한 평면과 나머지 한 벡터 위 임의의 한 점 사이의 거리를 구한다
 

---

4. 행렬 법칙 및 용어

참고로 이 란에서 말하는 행렬의 곱셈이란 모두 다음과 같다.

1) 행렬에 사용되는 법칙

(1) det(A*B) = detA * detB = det(B*A)

① A*B ≠ B*A여도 성립한다.
② 행렬 A의 크기가 n*n이라면(행렬식 존재하기 위해선 정방행렬) 행렬 B의 크기도 n*n이어야 한다. (그래야 행렬의 곱셈 가능하므로) 
 

2) 행렬에 사용되는 용어

(1) 교환자 : [ , ]

A와 B의 교환자 = [A, B] = AB-BA

①  A, B가 곱셈에 대해 교환된다면 이는 [A, B]=0라는 것이다. 즉 A, B의 교환자가 0이라는 것은 A, B가 곱셈에 대해 교환된다는 것이다.
A, B가 곱셈에 대해 교환된다함은 AB=BA이기 때문이다.
② A, B의 교환자가 0일 경우 (A-B)(A+B)=A²-B²

(2) 영행렬 : 모든 요소가 0인 행렬. 당연히 행렬식도 0

① M = [[2,-4],[1,-2]] 
이런 행렬처럼 행렬식은 0이지만 영행렬이 아닌 행렬도 존재한다.

(3) 역행렬

Ax=y ⇒ x=A¯¹y 에서 비롯되었다.
① 역행렬이 존재한다는 것의 의미

(ⅰ) 역행렬이 존재한다는 것은 정방행렬(정사각행렬)이라는 것
A¯¹A=AA¯¹=I이므로
(ⅱ) 역행렬이 존재한다는 것은 행렬식 ≠ 0이라는 것
A¯¹A =I에 위의 행렬식 법칙을 적용하면 det(A¯¹)*det(A)=det(I)=1
이게 성립하기 위해선 detA≠0 이어야 한다.
참고로 detA=k (k≠0)이라면 det(A¯¹)=1/k임을 알 수 있다
☆ detA≠0이고 정방행렬이면 무조건 invertible하다!!!

② 역행렬 구하기

지금까지는 가우스-조던 소거법을 사용해 역행렬을 구해왔지만, 
행렬식을 알게 된 지금은 AA¯¹=I && det(A¯¹)=1/det(A)를 만족하는 A¯¹을 구하면 된다.

adj(A) : A의 수반행렬. 여인수들로 채운 행렬을 전치한 것

 
(예제)

(4) 회전행렬

본래 벡터 앞에 이 회전행렬을 곱하면 α만큼 회전된다.

(5) 행렬함수

우리가 알고 있는 멱급수로 전개할 수 있는 함수에 대해, 급수가 수렴할 경우 행렬에도 적용할 수 있다.