2일차. 멱급수 <수리물리학 - 메리 보아스> (1.10-1.14)

미리보는 정리

1. 멱급수란? 

   Σaₙ(x-b)ⁿ꼴. x값에 따라 항들이 달라지므로 수렴여부도 달라짐.
2. 멱급수가 수렴하는 x구간 구하기

   비율검사(ρ<1인 구간 구하고 ρ=1인 지점은 따로 검사)

3. 함수의 멱급수 전개 : 함수로 수렴하는 멱급수 구하기
   1) 함수의 멱급수 전개 공식 : f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)/2!+...
       멱급수가 무한 급수가 아니고 초기 몇 항만 존재 시엔 x=a에서만 함수로 수렴
    2) 멱급수 전개 공식의 활용
       멱급수의 정리 1 : 함수의 멱급수는 유일 (기본함수를 활용해 구한 멱급수도 전개공식으로 구한 멱급수와 일치)
       멱급수의 정리 2 : 멱급수들을 더하고, 빼거나 곱해 얻은 급수는 적어도 공통 수렴구간 내에서는 수렴

       & 멱급수끼리 나눌 때는 분모에 있는 급수는 x=0에서 0이 아니어야 한다(맥클러린급수)

          분자에 있는 0과 상쇄될 수 있는 경우 이 상쇄되는 부분 전체를 분자로 생각해야 한다 
        멱급수의 정리 3 : 급수에 수렴구간 안의 함수나 급수를 대입할 수 있다
        멱급수의 정리 4 : 급수를 미분/적분해도 구할 수 있고, 원래 급수와 같은 수렴구간을 가진다.
   3) 모든 함수는 멱급수로 전개 가능한가?
        멱급수에 수렴구간에 해당하지 않는 부분은 전개 불가
        x=a에서 발산하는 함수는 전개 불가 (f(a)=a0임은 명백하므로)
        아예 멱급수 전개 불가한 함수 존재 (14.2 복소함수론에서 판단방법 배움)
   4) 멱급수의 꼴에 대해 계수만 끼워맞춘건데 실제로 주어진 함수에 수렴한다
        몇번째 항까지 전개해야 오차가 어느정도 이하가 될지도 구할 수 있다.

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1일차에서 본 급수들은 모두 항들이 상수인 급수였다.

이제 앞으로 볼 급수들은 항들이 함수인 급수이다.

 

1. 멱급수란?

1) 멱급수의 정의

멱급수란 위의 급수와 같이, 다항식들이 거듭제곱으로 나타난 꼴을 말한다.

지수는 항상 0, 1, 2, 3, 4, ... 계속 고정이고 밑의 다항식들만 변하기 때문에 멱급수라고 말한다.

+) 처음에 헷갈렸던 것 : x 차수가 x,x³,x⁶ 막 이런 식으로 나타나도 멱급수인가? : ㅇㅇ. 그냥 중간중간 aₙ이 0일뿐

2) 멱급수의 성질

멱급수의 각 항은 함수이므로 당연히 x의 값에 따라 항들의 값이 달라진다.

즉, 수렴여부도 x값에 따라 달라진다.

 

2. 멱급수의 수렴여부 판단 (=수렴하는 x구간 구하기)

1) 멱급수의 수렴여부 판단에 주로 사용하는 검사방법

<1일차때 배운 급수의 수렴여부 판단 과정을 그대로 따라가보자.>

멱급수는 aₙ 또한 n값에 따라 변하므로 일단 기하급수가 아니다.

심하게 발산하는지 여부는 멱급수에 따라 다르겠지만, 우선 우리가 풀 문제에서 그런 문제는 없을 것이다.

그 다음으론 절대수렴 여부를 따져봐야 하는데, 멱급수는 보통 1일차에서 말한 여러 방법들중에서 비율검사를 사용한다.

(거듭제곱꼴이므로 사용하기 간편. 그리고 예제를 보면 알겠지만, 수렴하는 x의 구간을 한번에 구하기도 간편하다)

2) 멱급수의 수렴여부 판단 예제

(1) 다음 급수가 수렴하는 x의 구간을 구하라.

(풀이)

이때 비교검사에서 항상 유의해야 할 것이, ρ=1인 부분은 따로 추가적인 검사를 해야 한다.

결론적으로 -3 ≤ x < -1에서 주어진 급수가 수렴한다.

 

3. 함수의 멱급수 전개

우선 가장 먼저 주어진 함수에 대해서, 이 함수로 수렴하는 급수가 존재한다고 가정한다.

1) 함수의 멱급수 전개 공식

주어진 함수 f(x)로 수렴하는 멱급수를 구하는 것을 "함수의 멱급수 전개"라고 한다.

(1) 멱급수 전개 공식은 다음과 같다. (함수로 수렴하는 멱급수가 존재한다고 가정했으므로 그에 해당하는 계수만 구하면 된다.)

? 어떻게 미분해서 계수를 구할 수 있을까 ? -증명

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(2) 이때 각 항이 추가될 수록 점점 함수에 대한 수렴도가 높아질 것이다.

만약 f(a)+f'(a)(x-a)같이 멱급수 중 일부 항만으로 이루어진 급수는 x=a근처에서만 수렴도가 높다.

a=0으로 설정해서 x=0근처에서 수렴하는 급수는 맥클러린 급수라고 하고, x!=0( ∵ a!=0) 근처에서 수렴하도록 만든 급수는 테일러급수라고 한다.

2) 함수의 멱급수 전개

하지만 멱급수 전개 공식처럼 매번 미분하는 것이 너무 복잡한 함수들이 많다.

따라서 일단 멱급수 전개 공식을 이용해 기본적인 함수의 멱급수를 구하고, 이를 이리저리 조합해서 멱급수를 구한다.

이때 중요하고도 신기한 점은 함수의 멱급수는 유일하다는 점이다. [멱급수의 정리1]

그러니까 이제 나오는 것처럼 기본 멱급수를 사칙연산하든 적분/미분하든 대입하든 구한 멱급수는 해당 함수를 멱급수 전개 공식을 적용해 일일히 구한 멱급수와 동일하다.

(0) 기본적인 함수의 멱급수

(1) 기본적인 함수의 멱급수 이용해서 멱급수 구하기

① 급수 사칙연산 : 두 개의 멱급수는 더하고, 빼거나 곱할 수 있다. 이렇게 해 얻은 급수는 적어도 공통 수렴구간 내에서는 수렴한다. [멱급수의 정리2]

급수를 급수로 나눌 수도 있는데, 이때 분모에 있는 급수는 x=0에서 0이 아니어야 한다.<맥클러린급수 기준> 그렇지만 만약 x=0에서 분자에 있는 0과 상쇄될 수 있는 경우 이 상쇄되는 부분 전체를 분자로 생각해야 한다. <https://godlifes.tistory.com/74#division>

또한 나눈 경우 따로 비율검사나 복소함수이론(수렴원판 구하기)을 사용해 수렴구간을 구해야 한다.

<https://godlifes.tistory.com/74#division>

ⅰ. 곱하기 예시

참고로 위처럼 지수함수와 삼각함수의 곱은 멱급수의 곱 말고도 복소수를 이용해 간단히 구할 수 있다.

<https://godlifes.tistory.com/74#ExpoTri>

ⅱ. 나누기 예시

② 급수에 대입 : 한 급수를 다른 급수로 바꾸어 넣을 수 있는데 이때 바뀌는 급수 값들은 다른 급수의 수렴구간 안에 있어야 한다. [멱급수의 정리3]

ⅰ. 대입 예시

ⅱ. 대입 예시 (맥클러린 급수 활용해 테일러 급수 구하기)

멱급수가 무한급수가 아닌 처음 몇 항만 존재할 땐 x=1근처에서만 이 멱급수가 주어진 함수로 수렴한다.

무한급수되면 수렴구간 전체에서 주어진 함수로 수렴한다.

③ 급수 적분/미분 : 멱급수의 각 항들을 미분하거나 적분한 결과로 얻은 급수는 원래의 급수와 같은 수렴구간 내에서 원래의 급수가 나타내는 함수의 미분이나 적분된 형태에 수렴한다.(단 구간의 양 끝점에서는 성립하지 않을 수도 있다)  [멱급수의 정리4]

3) 모든 함수는 멱급수로 전개 가능한가?

(1) 우선 수렴구간을 구했을 때, 이 수렴구간에 해당하지 않는 부분은 멱급수로 전개가 불가능한 부분이다.

(어떤 방식으로 구하든 함수의 멱급수는 동일하므로, 한번 수렴구간을 구했다면 이 구간이 멱급수로 전개가 가능한 유일한 구간이다.) 

(2) 멱급수는 x=0에서 a₀의 값을 가지는 것이 확실하다.(맥클러린급수 기준) 따라서 원점에서 발산하는 1/x나 lnx같은 함수는 멱급수 전개가 불가능하다.

테일러급수도 마찬가지로 x=a 근처에서 발산하는 함수는 멱급수로 전개가 불가능하다.

(3) 위 두 케이스에 해당하지 않는데도 멱급수로 전개하지 못하는 경우가 존재한다.

이 식은 계속해서 미분한 후 x=0을 대입한 값들이 모두 0이 나온다.

즉 멱급수 전개 공식에 대입해보면 0+0+0+0+...꼴이 나오는 것이다.

하지만 모든 x에서 위 식은 분명히 0이 아니므로 위 멱급수는 틀린 멱급수이다.

이런식으로 아예 멱급수 전개를 하지 못하는 함수가 존재한다. <이런 함수는 나중에 14.2장에 가야 복소함수론을 이용해 한번에 분간이 가능하다.>

4) 공식으로 멱급수가 실제로 주어진 함수에 수렴하는가?

그냥 멱급수의 꼴에 대해 계수만 끼워맞춘건데 실제로 주어진 함수에 수렴할 수 있을까?

ㅇㅇ. 그렇다고 한다.

몇번째 항까지 전개해야 오차가 어느정도 이하가 될지도 구할 수 있다.

(하지만 귀찮으니 패스)